Геометрия многоугольника: пятиугольники, шестиугольники и додекагоны

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

диаметр описанной окружности;
диаметр вписанной окружности;
площадь;
периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.

Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:

R=а.

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

S=πR²

Вписанная окружность

Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2.

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Ее площадь будет составлять:

S=3πa²/4,

то есть три четверти от описанной.

Периметр и площадь

С периметром все ясно, это сумма длин сторон:

P=6а, или P=6R

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или

S=3R²(√3)/2

Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Занимательные построения

В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:

Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:

Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.

Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:

Угол АВF равен углу ВАС. Таким образом, получившийся треугольник с основанием АВ и безымянной вершиной напротив него — равнобедренный.
Все такие же треугольники, основанием которых служит сторона гексагона, равны по стороне и прилегающей к ней углам.
Треугольники при вершинах гексагона являются равносторонними и равными, что вытекает из предыдущего пункта.
Углы новообразованного шестиугольника равняются 360-120-60-60=120°.

Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:

d=а(√3)/3

Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:

r₂=а/2

Площадь нового шестиугольника можно посчитать так:

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Классификация

Несколько разных типов многоугольника

Выпуклость и невыпуклость

Многоугольники могут характеризоваться своей выпуклостью или типом невыпуклости:

Выпуклая : любая линия, проведенная через многоугольник (но не касательная к краю или углу), встречается с его границей ровно дважды. Как следствие, все его внутренние углы меньше 180 °. Точно так же любой отрезок линии с конечными точками на границе проходит только через внутренние точки между своими конечными точками.
Невыпуклый: может быть найдена линия, которая встречается со своей границей более двух раз. Точно так же существует отрезок прямой между двумя граничными точками, который выходит за пределы многоугольника.
Просто : граница многоугольника не пересекает себя. Все выпуклые многоугольники простые.
Вогнутая : невыпуклая и простая. По крайней мере, один внутренний угол превышает 180 °.
В форме звезды : весь интерьер виден хотя бы с одной точки, не пересекая ни одного края. Многоугольник должен быть простым и может быть выпуклым или вогнутым. Все выпуклые многоугольники имеют звездообразную форму.
Самопересечение : граница многоугольника пересекает сам себя. Термин « сложный» иногда используется в отличие от « простого» , но при таком использовании возникает опасность путаницы с идеей сложного многоугольника как того, который существует в сложной плоскости Гильберта, состоящей из двух комплексных измерений.
Звездный многоугольник : многоугольник, который самопересекается правильным образом. Многоугольник не может быть одновременно звездообразным и звездообразным.

Равенство и симметрия

Равноугольный : все углы равны.
Равносторонние : все края одинаковой длины.
Обычный : как равносторонний, так и равносторонний.
Циклический : все углы лежат на одной окружности , называемой описанной окружностью .
Тангенциальный : все стороны касаются вписанной окружности .
Изогональный или вершинно-транзитивный : все углы лежат в пределах одной орбиты симметрии . Многоугольник также является циклическим и равноугольным.
Изотоксальный или реберно-транзитивный : все стороны лежат в пределах одной и той же орбиты симметрии . Многоугольник также бывает равносторонним и касательным.

Свойство регулярности можно определить и другими способами: многоугольник является правильным тогда и только тогда, когда он одновременно изогонален и изотоксален, или, что то же самое, он является одновременно циклическим и равносторонним. Невыпуклый правильный многоугольник называется правильным звездчатым многоугольником .

Разнообразный

Прямолинейный : стороны многоугольника пересекаются под прямым углом, то есть все его внутренние углы равны 90 или 270 градусам.
Монотонный относительно данной прямой L : каждая прямая, ортогональная L, пересекает многоугольник не более двух раз.

Треугольный многоугольник

Такую фигуру называют треугольником. Она состоит из трёх углов и такого же числа сторон. Их, принято обозначать маленькими буквами a, b, c или подписывать двумя заглавными по названиям вершин, которые являются началом и концом отрезка. Например, треугольник ABC содержит стороны: AB = a, BC = b, AC = c.

В зависимости от особенностей, фигура может называться:

разносторонней — многоугольник, у которого все 3 стороны не равны;
равнобедренной — длины любых двух граней совпадают;
равносторонней (правильной) — все стороны фигуры одинаковые.

Но несмотря на классификацию, все перечисленные виды обладают общими свойствами. Считается, что угол любого плоского треугольника образуется при пересечении двух лучей, содержащих его стороны, то есть если говорят об ∠A, то подразумевают, что был лучи AB и АС, при построении которых он и образовался. Таким образом, он заключается не между сторонами, а лучами.

Эти 3 параметра определяют свойства треугольной фигуры. С их помощью можно находить, площадь, стороны, значения углов. Определение медианы звучит так: это прямая, проведённая из угла к противолежащей стороне таким образом, что разделяет её пополам. Под биссектрисой же понимают отрезок, разделяющий угол на 2 равные части. Высотой называют перпендикуляр, опущенный на противоположную сторону из вершины.

Треугольник, который выглядит, как прямой угол, называют прямоугольным. То есть построив в любом многоугольнике с тремя углами высоту, можно получить две фигуры, обе из которых точно будут прямоугольными. Боковые грани, перпендикулярные друг другу, называют катетами, а оставшуюся сторону — гипотенузой. По сути, тело представляет собой разделённый диагональю квадрат. Отсюда площадь многоугольника будет равняться произведению катетов, делённых на 2: S = a*b/2. А также следует отметить, что у равнобедренного треугольника медиана, высота и биссектриса совпадают.

Расчет параметров

С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона. Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование. Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.

Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях. Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.

Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.

Условные обозначения

Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:

Сторона: a.
Радиус вписанной и описанной окружностей: r и R соответственно.
Площадь: S.
Периметр и полупериметр: P и p соответственно.
Диагональ: d.
Отношение золотого сечения: Ф.

Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. Полупериметр вычисляется по следующему соотношению: p = P / 2. Диагонали — отрезки, проведенные из одной вершины к противоположной (несмежной).

Соотношения и формулы

После обозначений следует переходить к рассмотрению основных формул, при помощи которых можно вычислять параметры фигуры. Сторону можно найти, воспользовавшись такими соотношениями:

a = 2r * tg(36).
a = 2R * sin(36).
a = R * [(5 — (5)^(1/2)) / 2]^(1/2).

Радиус вписанной окружности в пентагон можно найти, используя тригонометрические функции. Однако существует также формула, позволяющая вычислить приближенное значение. Это необходимо в том случае, когда под рукой нет специального онлайн-калькулятора, компьютера или таблиц Брадиса. Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности:

r = a / (2tg(36)).
r = a * [5^(1/2) * [5 + 2 * 5^(1/2)]^(1/2) / 10].

Математики также рекомендуют описать вокруг пентагона окружность. Это расширит возможности по поиску его основных характеристик. Однако ее радиус следует вычислить. Формулы для его нахождения выглядят таким образом:

R = a / (2sin(36)).
R = a * [10^(1/2) * [5 + 5^(1/2)]^(1/2) / 10] = (5^(1/2) — 1) * r.

Периметр определяется просто: Р = 5а. Значение полупериметра эквивалентно половине периметра, то есть p = P / 2 = 5a / 2 = 2,5a. Площадь можно найти, используя такие формулы:

S = (5a^2 / 4) * ctg(36).
S = 5r^2 * tg(36).
S = 2,5 * R^2 * sin(72).
S = (5/12) * R * d.

Высота правильного пятиугольника (h) — отрезок, проведенный из центра на любую из сторон. Она делит ее на две равные части, поскольку является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника. У последнего две стороны — радиусы описанной окружности, а третья — сторона пентагона. Высота называется также апофемой и проекцией на «а». Вычисляется ее значение по формуле h = a * tg(72) / 2.

Величина Ф является отношением площади пентагона (S) к площади (S1) правильного пятиугольника, полученного при пересечении диагоналей первого: S / S1 = Ф^4 = 3Ф + 2 = (3 * 5^(1/2) + 7) / 2. Длина диагонали находится по такому соотношению: d = [Ф * 5^(1/2) * R]^(1/2).

Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

a₆ = R

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а₆. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а₆. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах

Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А₁, А₂, А₃…А_n. Далее проведем биссектрисы углов ∠А₁ и ∠А₂. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА₃, ОА₄ и т. д.

∠А₁ и ∠А₂ одинаковы по определению правильного многоуг-ка:

Из этого факта вытекает два равенства:

Получается, что ОА₃ – это также биссектриса ∠А₃. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):

Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:

Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А₁, А₂ и А₃, можно провести только одну окружность, ч. т. д.

Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃… на стороны многоуг-ка.

Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:

Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН₁. Он должен будет пройти и через точки Н₂, Н₃, … Н_n. Причем отрезки ОН₁, ОН₂, ОН₃ окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:

Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А₁, ∠А₂, ∠А₃, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А₁А₂ – это отрезок ОН₁, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.

Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.

Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н₁, Н₂, Н₃,… – это середины сторон многоуг-ка.

Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?

Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.

Ответ: не могут.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.

Связанные цифры

А додекаграмма представляет собой 12-сторонний звездообразный многоугольник, представленный символом {12 / n}. Есть один обычный звездный многоугольник: {12/5}, используя те же вершины, но соединяя каждую пятую точку. Также есть три соединения: {12/2} сокращается до 2 {6} как два шестиугольники, а {12/3} сокращается до 3 {4} как три квадраты, {12/4} уменьшается до 4 {3} как четыре треугольника, а {12/6} уменьшается до 6 {2} как шесть вырожденных дигоны.

Звезды и соединения
п	1	2	3	4	5	6
Форма	Многоугольник	Соединения	Звездный многоугольник	Сложный
Изображение	{12/1} = {12}	{12/2} или 2 {6}	{12/3} или 3 {4}	{12/4} или 4 {3}	{12/5}	{12/6} или 6 {2}

Более глубокие усечения правильного додекагона и додекаграммы могут давать изогональные (вершинно-транзитивный) образуются промежуточные звёздчатые многоугольники с одинаковыми вершинами и двумя длинами ребер. Усеченный шестиугольник — это двенадцатиугольник, t {6} = {12}. Квазиусеченный шестиугольник, перевернутый как {6/5}, представляет собой додекаграмму: t {6/5} = {12/5}.

Вершинно-транзитивные усечения шестиугольника
Квазирегулярный	Изогональный	Квазирегулярный
t {6} = {12}			т {6/5} = {12/5}

Наклонный двенадцатигранник

Правильный косой двенадцатигранник выглядит как зигзагообразные края шестиугольная антипризма.

А наклонный двенадцатигранник это наклонный многоугольник с 12 вершинами и ребрами, но не находящихся в одной плоскости. Внутренняя часть такого двенадцатигранника обычно не определяется. А косой зигзагообразный двенадцатигранник имеет чередующиеся вершины между двумя параллельными плоскостями.

А правильный косой двенадцатигранник является вершинно-транзитивный с равной длиной кромки. В 3-х измерениях это будет зигзагообразный косой двенадцатигранник, и его можно будет увидеть в вершинах и боковых краях шестиугольная антипризма с тем же D_5d, симметрия 20-го порядка. додекаграммная антипризма, с {2,24 / 5} и додекаграммная скрещенная антипризма, s {2,24 / 7} также имеют правильные скошенные двенадцатиугольники.

Полигоны Петри

Правильный двенадцатигранник — это Многоугольник Петри для многих многомерных многогранников, рассматриваемых как ортогональные проекции в Самолеты Кокстера. Примеры в 4-х измерениях: 24-элементный, курносый 24-элементный, 6-6 дуопризма, 6-6 дуопирамид. В 6 измерениях 6-куб, 6-ортоплекс, , . Это также многоугольник Петри для большой 120-элементный и большой звездчатый 120-элементный.

Регулярные косые додекагоны в более высоких измерениях
E₆	F₄	2G₂ (4D)
		24-элементный	Курносый 24-элементный	6-6 дуопирамид	6-6 дуопризма
А₁₁	D₇	B₆
11-симплекс	(4₁₁)		6-ортоплекс	6-куб

Именование

Слово многоугольник происходит от позднего латинского polyg polynum (существительное), от греческого πολύγωνον ( polygōnon / polugōnon ), существительного, использующего средний язык от πολύγωνος ( polygōnos / polugōnos , прилагательное мужского рода), что означает «многоугольный». Отдельные многоугольники называются (а иногда классифицируют) в соответствии с числом сторон, сочетая греческий -derived числового префикса с суффиксом -угольник , например , пятиугольник , двенадцатиугольником . Треугольник , четырехугольник и девятиугольник исключение.

Помимо десятиугольников (10-сторонних) и додекагонов (12-сторонних) математики обычно используют числовые обозначения, например 17-угольник и 257-угольник.

Исключения существуют для побочных подсчетов, которые легче выразить в устной форме (например, 20 и 30) или которые используются не математиками. Некоторые специальные многоугольники также имеют свои собственные имена; например, правильный пятиугольник звезды также известен как пентаграмма .

**Имена многоугольников и прочие свойства**
Имя	Стороны	Характеристики
моногон	1	Обычно не считается многоугольником , хотя в некоторых дисциплинах, таких как теория графов, иногда используется этот термин.
Digon	2	Обычно не считается многоугольником на евклидовой плоскости, хотя может существовать как сферический многоугольник .
треугольник (или тригон)	3	Простейший многоугольник, который может существовать в евклидовой плоскости. Можно выложить самолет плиткой .
четырехугольник (или четырехугольник)	4	Простейший многоугольник, который может пересекаться; простейший многоугольник, который может быть вогнутым; простейший многоугольник, который может быть нециклическим. Можно выложить самолет плиткой .
пятиугольник	5	Простейший многоугольник, который может существовать как правильная звезда. Звездный пятиугольник известен как пентаграмма или пентакль.
шестиугольник	6	Можно выложить плоскость плиткой .
семиугольник (или септагон)	7	Простейший многоугольник такой, что правильную форму невозможно построить с помощью циркуля и линейки . Однако его можно построить с помощью конструкции Нойсиса .
восьмиугольник	8
нонагон (или эннеагон)	9	«Нонагон» смешивает латинский [ novem = 9] с греческим; «эннеагон» — чисто греческое.
десятиугольник	10
hendecagon (или undecagon)	11	Простейший многоугольник такой, что правильную форму нельзя построить с помощью циркуля, линейки и трисектора угла .
двенадцатиугольник (или двенадцатиугольник)	12
трехугольник (или трехугольник)	13
тетрадекагон (или тетракаидекагон)	14
пятиугольник (или пятиугольник)	15
hexadecagon (или hexakaidecagon)	16
гептадекагон (или гептадекагон)	17	Конструируемый многоугольник
octadecagon (или octakaidecagon)	18
enneadecagon (или enneakaidecagon)	19
икосагон	20
икоситетракон (или икосикаитетракон)	24
триаконтагон	30
тетраконтагон (или тессарактагон)	40
пятиугольник (или пятиугольник)	50
шестиугольник (или шестиугольник)	60
гептаконтагон (или hebdomecontagon)	70
восьмиугольник (или огдоэконтагон)	80
эннеконтагон (или эннеконтагон)	90
гектогон (или гекатонтагон)	100
257-угольник	257	Конструируемый многоугольник
чилиагон	1000	Философы, включая Рене Декарта , Иммануила Канта , Дэвида Юма , , использовали хилиагон в качестве примера в дискуссиях.
мириагон	10 000	Используется в качестве примера в некоторых философских дискуссиях, например, в « Размышлениях Декарта о первой философии».
65537-угольник	65 537	Конструируемый многоугольник
мегагон	1,000,000	Как и в случае с примером хилиагона Рене Декарта, многоугольник с миллионами сторон использовался как иллюстрация четко определенной концепции, которую невозможно визуализировать. Мегагон также используется как иллюстрация сходимости правильных многоугольников к окружности.
апейрогон	∞	Вырожденный многоугольник с бесконечным числом сторон.

Создание высших имен

Чтобы создать имя многоугольника с более чем 20 и менее чем 100 ребрами, объедините префиксы следующим образом. Термин «кай» применяется к 13-угольникам и выше, использовался Кеплером и поддерживался Джоном Х. Конвеем для ясности конкатенированных префиксных чисел при именовании квазирегулярных многогранников .

Десятки	и	Единицы	последний суффикс
-kai-	1	-hena-	-угольник
20	icosi- (icosa- в одиночестве)	2	-ди-
30	триаконта- (или триконта-)	3	-три-
40	тетраконта- (или тессаракта-)	4	-тетра-
50	пентаконта- (или пентеконта-)	5	-penta-
60	гексаконта- (или гексеконта-)	6	-hexa-
70	гептаконта- (или гебдомеконта-)	7	-гепта-
80	октаконта- (или огдоэконта-)	8	-окта-
90	enneaconta- (или eneneconta-)	9	-ennea-